Né en 1930 à Obrenovac, alors dans le Royaume de Yougoslavie, l’attaquant effectue ses premiers pas dans le club de sa région, l’Etoile Rouge de Belgrade où il fait ses débuts professionnels à vingt ans. Il y restera quatorze années.
De 1951 à 1961, puis de 1962 à 1966 (entre les deux, une année en Italie, pour Vicenza Calcio), ses 158 buts ont contribué aux sept titres de champion de Yougoslavie glanés par les Belgradois (1951, 1953, 1956, 1957, 1959, 1960. 1964.).
Chacun se souvient d’un soir de 1991 où l’Olympique de Marseille eut à subir une nouvelle fois la malédiction des clubs français en finale de Coupe d’Europe, en perdant aux tirs aux buts contre la grande équipe de l’Etoile Rouge menée par Sinisa Mihajlovic, Dejan Savicevic, Robert Prosinecki…
Tous les membres de cette aventure se virent décorer du titre d’étoile de l’Etoile Rouge, Zvezdina zvezda, Avant eux, les détenteurs de cette distinction se comptaient encore sur les doigts d’une seule main. Parmi ceux-là, deux des coéquipiers de Kostic : Rajko Mitic, the First star of Red Star, et Dragoslav Sekularac. Avec quelques autres encore, en 1957, pour la deuxième édition seulement de la Coupe d’Europe, les joueurs des Balkans s’étaient déjà hissés en demi-finale, après avoir éliminé successivement le champion des Pays-Bas, le Roda JC, et celui de Bulgarie, le CSKA Sofia. Au cours des deux premiers tours, en quatre matches, Kostic marqua cinq fois. En demi-finale, contre la Fiorentina, il resta muet. Les Italiens ouvrirent le score, à l’aller, à Belgrade, à la 88ème minute. Plus aucun but ne fut marqué, ni dans ce match, ni au retour.
L’année suivante, Kostic et ses partenaires réussirent un score de 14 à 1 contre les Luxembourgeois du Stade Dudelange au premier tour. Kostic inscrivit un doublé à l’aller, et un quadruplé au retour. Au deuxième tour, au cœur de l’automne suédois, les Yougoslaves arrachèrent le nul contre l’IFK Norrköping, après avoir concédé deux buts dans le dernier quart d’heure. Cette fois-ci pourtant, les Yougoslaves remontèrent par Ivan Toplak à la 88ème et c’est Kostic qui égalisa, dans la dernière minute du temps réglementaire. A nouveau menés au retour, sur leur pelouse, ils s’imposèrent deux buts à un.
En quarts de finale, ils trouvèrent sur leur chemin les Busby Babes, la talentueuse équipe de Manchester United formée par les soins de Matt Busby, et que seul un accident d’avion empêcha de tenir sa promesse d’inaugurer le palmarès européen des Anglais. Contre les équipiers de Bobby Charlton, futur champion du monde en 1966, les Yougoslaves s’inclinèrent 2 à 1 à Manchester après avoir mené au score. Au retour, Dennis Viollet plaça les Britanniques en tête dès la deuxième minute. Lorsque les Belgradois, condamnés à l’attaque, concèdèrent deux nouveaux buts au génie de Bobby Charlton, coup sur coup (30ème et 31ème), la messe semblait dite. Mais c’est Bora Kostic qui sonna la révolte chez les siens dès le retour des vestiaires en réduisant l’écart, avant que Tasic ne transformât un penalty. A la 58ème, enfin, Kostic égalisa, d'un superbe coup-franc, pour sauver l’honneur de Belgrade devant les 52 000 spectateurs du JNA Stadium. (Ce fut le dernier but encaissé par cette formation des Mancuniens : le lendemain, leur avion s'écrasait au décollage, sur le tarmac de l'aéroport de Munich).
Sous le maillot de la Yougoslavie, Kostic marqua 26 buts en 33 sélections. 1960 fut une année particulièrement faste. Finaliste malheureux en juillet du premier championnat d’Europe des Nations, sans marquer, il remporta l’or aux Jeux Olympiques en septembre, en inscrivant six buts cette fois, dont le dernier contre le Danemark, en finale.


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